整理一下之前的笔记
浮点数与定点数
定点数
小数点在计算机中通常有两种表示方法，一种是约定所有数值数据的小数点隐含在某一个固定位置上，称为定点表示法，简称定点数。
其实整数也算是一种特殊的定点数，只是小数点默认处于末尾。
如何表示一个有符号定点数？例如，我们定义一个八位定点数表示方法，第一位为符号位，小数点位于第三位后面，则对于小数1.375，定点数原码表示为00101100，即小数点前后分别由十进制转二进制：+ 01.011，补码表示则进行对应的处理。
定点数的缺陷有：
+ 由于固定的小数点位置决定了整数部分位数和小数部分的位数，导致其能表示的数的范围偏小。
+ 小数点位置难统一，现代计算机中出现的定点数已经全部规定为纯小数了，即默认整数部分是0，小数点位置位于符号位之后。
浮点数
浮点数与定点数对应，它不固定小数点位置，这是怎么做到的呢？
对应的原理其实就是，一个小数，通过小数点移位，总能将小数点移到一个统一的位置上。例如对于十进制小数0.035 = 3.5 * 10^-2，对于0.000059 = 5.9 * 10^-5。
那么二进制小数也是这样，例如，0.0101 = 1.01 * 2^-2。浮点数通过统一将小数表示成这种方式，做到不限制小数点的位置。
具体来说，浮点数把一个二进制数表示成如下图：
那么根据S、M、E就能唯一确定一个小数。要将S、M、E表示到一起，就出现了IEEE754标准。
IEEE二进制浮点数算术标准（IEEE 754）是20世纪80年代以来最广泛使用的浮点数运算标准，为许多CPU与浮点运算器所采用。这个标准定义了表示浮点数的格式（包括负零-0）与反常值（denormal number）），一些特殊数值（无穷（Inf）与非数值（NaN）），以及这些数值的“浮点数运算符”；它也指明了四种数值舍入规则和五种例外状况（包括例外发生的时机与处理方式）。
IEEE754将一个二进制串表示为上图末尾的那一条，其中S就是符号位，exp对应的是阶码E，而frac对应的是尾数M。
exp和frac在单精度浮点数和双精度浮点数中的长度如下所示：
规格化浮点数
那么如何确定exp和frac？
首先要了解的是，虽然阶码E是有符号的，例如 1.01 * 2^-2中，尾数为1.01，阶码为-2，但IEEE754中会把exp的范围转移到非负数区域，即它是一个无符号表示。（不能全为0或者全为1，因为被非规格化浮点数和特殊值占用了）
而尾数frac，则是M的小数部分，例如1.01 * 2^-2中，M为1.01，frac为01。
举例如何将十进制数转浮点数：
非规格化浮点数
虽然规格化浮点数能表示的范围已经很牛X了，但对于很小的数还是难以表示，比如，单精度数的阶码上限不是127吗，假设我有一个小数0.00...(省略127个0)...111，在小数点后面连续0的个数达到了阶码上限，则通过小数点移位后，阶码会超过127，此时规格化浮点数就无法表示了。
有没有方法解决这个问题呢？
IEEE定义了非规格化浮点数，此时就不要求尾数部分以1.*开头了，而是用0.*表示。然后阶码域必须最小，即exp全为0，因为尾数域的规则改了，要平滑过渡到规格化浮点数，此时E=-Bias+1，和规格化浮点数的计算有不同。
这种思想其实就是用精度换范围，因为frac的长度本身有限，非规格化浮点数的尾数部分前面用0填充，使得尾数部分有效位个数减少，精度也就对应减少。
非规格化浮点数可以表示0，并且区分+0和-0（即符号位不同）。
特殊值
IEEE754还定义了无穷、NaN，它们的exp全为1。
有意思的是，浮点数运算中，任何数除以0都会等于无穷。
舍入（Rounding）规则
因为部分小数在计算机中不能精确表示成浮点数，IEEE754定义了四种舍入规则。它们是：
- 向偶数舍入，也称为向最接近的值舍入。它和四舍五入类似，但是四舍五入会遇到问题，比如
2.5和2、3之间的差值都为0.5，那么它应该往2舍入还是往3舍入呢？四舍五入是往3舍入，而向偶数舍入确保舍入后的最低有效数字是偶数。 则应该往2舍入。 对于二进制而言，就代表舍入后最低有效数字必须为0。- 向偶数舍入是计算机的默认舍入方式。
- 向0舍入，对应C/C++的类型转换。
(int) 1.324 = 1，(int) -1.324 = -1 - 向下舍入，C/C++函数floor()。例如：
floor(1.324) = 1，floor(-1.324) = -2 - 向上舍入：C/C++函数ceil()。例如：
ceil(1.324) = 2，Ceil(-1.324) = -1
原创文章，作者：彭晨涛，如若转载，请注明出处：https://www.codetool.top/article/ieee754%e6%b5%ae%e7%82%b9%e6%95%b0%e6%a0%87%e5%87%86%e5%92%8c%e8%88%8d%e5%85%a5%e8%a7%84%e5%88%99/
